Pour Pri²

programme de Kholle sur la continuité, pour l'exo compliqué à la demande de pri² :
g: [0,1]-> IR avec g(x)=|x-f(x)|

g qu'elle est continue sur un segment donc th elle est bornée et atteint ses bornes : il existe a dans [0,1] tq pour tout x de [0,1], g(a)<=g(x) (ça veut dire plus petit ou égal, notation Pascal pour les infoïstes ;-).

dans ce cas on suppose que a est différent de f(a), par propriété de f on a |f(f(a))-f(a)|<|f(a)-a| donc g(f(a))<g(a), ce qui est exclu par le paragraphe précedent puisque f(a) est dans [0,1]. On a donc le contraire de ce qu'on a supposé à savoir l'existence de a tel que a=f(a).

Je passe sur l'unicité.

maintenant la suite : on pose Z l'ensemble des x de [0,a] tels que f(x)<=f(a) donc l'ensemble des x de [0,a] tels que f(x)<=a. (se le représenter c'est assez simple !)on a pour tout x de Z, x<=a par définition. de plus a majore Z (c'est évident !) et il est dans Z.
Donc a est le pge de Z, donc en particulier la borne sup.
Donc il existe une suite x[n] dans Z qui tend vers a, x[n] est dans [0,1] puisque x[n] est dans Z donc dans [0,a] inclu dans [0,1].
Par critère séquentiel puisque f est continue en a lim (f(x[n])) = a = f(a)
(je sais pas si cette dernière ligne à qqch à faire ici...).
Toujours est-il qu'on a notre suite de réel de [0,1] qui tend vers l'unique point fixe !

Je sais pas si c'est plus simple que Francky, mais ça m'a l'air bon (hein Doudou ?) et j'espère que ça pourras t'aider au moins toi pri² ! sinon y'a qu'a effacer ce message.

ca a l'air bon
pour mi pour montrer l(existence de f(a)=a j'utilise exo13
je trouve ca plus simple
mais faut faire deux cas il me semble car peut etre que ton Z se réduit au singleton a donc ta suite serait a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a,a......a,a.....
et elle tend forcément vers a
a voir!!

Donc ça pose pas de problème d'existence de ma suite si Z est réduit à a ? (il seras toujours majoré par a et contenant a)

C'est clair moi aussi si j'avais le choix je prendrais la méthode de l'exo 13 (limite je lui fait un dessin ), mais c'est au cas où le kholleur y veut pas, vaut mieux être préparé sur celle là.

Dans la démo de francky tu prends un x de 0 a 1 et tu construit une suite tel que x0 = x et xn =f(xn+1) alors cette suite tends vers a
toi tu montre que il existe une suite tendant vers a
mais a mon avis la première est plus générale elle engloge toutes les suites alors que toi tu en a qu'une : tout dépen,ds comment on lit le programmr de maths

exact... c'est parce que c'est pas vrmt explicite dans le pg donc j'ai cherché ailleurs...
dommage...